Jeśli kiedykolwiek czytałeś zaawansowane podręczniki lub artykuły o elektronice, byłeś zdumiony, aby zobaczyć użycie numerów złożonych używanych w analizie obwodów AC. Numer złożony ma dwie części: prawdziwa część i wyimaginowana część. Często myślałem, że wiele książek i zajęć po prostu połysk nad tym, co to naprawdę znaczy. Jaka część mocy elektrycznej jest wyimaginowana? Dlaczego to robimy?
Krótka odpowiedź jest kątem fazowym: opóźnienie czasu między napięciem a prądem w obwodzie. Jak może być kątem? To część tego, co muszę wyjaśnić.
Najpierw rozważ rezystor. Jeśli zastosujesz do niego napięcie, pewny prąd będzie płynąć, że można zidentyfikować przez prawo Ohm. Jeśli znasz natychmiastowe napięcie na rezystorze, możesz uzyskać bieżący i możesz znaleźć moc – ile pracuje, że moc elektryczna. W porządku dla prądu DC przez rezystory. Ale komponenty, takie jak kondensatory i indukci z prądem AC, nie są posłuszni prawami OHM. Weź kondensator. Prąd płynie tylko wtedy, gdy kondensator ładuje się lub rozładowywa, więc prąd za pomocą nim odnosi się do szybkości zmiany napięcia, a nie bezpośrednio napięcia.
Oznacza to, że jeśli wykreślisz napięcie fali sinuso- w stosunku do prądu, górna część napięcia będzie tam, gdzie prąd jest minimalny, a prąd górny będzie tam, gdzie napięcie jest w zero. W tym obrazie widać, gdzie żółta fala jest napięcie (V), a zielona fala jest prądem (I). Zobacz, jak zielony top jest tam, gdzie krzywa żółta krzywa krzyczy zero? A żółty wierzchołek jest tam, gdzie zielona krzywa przecina zero?
Te powiązane fale sinusoidalne i cosinusowe mogą przypominać o czymś – współrzędne X i Y punktu zmiecione wokół okręgu w stałej stopie, a to nasze połączenie z numerami złożonymi. Pod koniec postu zobaczysz, że nie wszystko jest skomplikowane, a “wyimaginowana” ilość nie jest w ogóle wyimaginowana.
Uproszczenie założeń
Zacznij od sygnału audio kogoś, kto mówi i karmić to do twojego obwodu. Jest zawiamał się z różnymi częstotliwościami, które zmieniają się stale. Jeśli miałeś w nim obwód tylko z rezystorami, możesz wybrać punkt w czasie, znajdź wszystkie elementy częstotliwości obecne lub natychmiastowej amplitudy, uzyskaj natychmiastowe prądy i można użyć konwencjonalnych technik. Musiałbyś to zrobić ponownie i więcej. Jeśli obwód obejmuje induktorów lub kondensatorów, których zachowanie zależy od znacznie więcej niż tylko napięcia na nich, staje się to bardzo trudne bardzo szybko.
Zamiast tego jest prostsze, aby zacząć od sinusej fali w jednej częstotliwości i zakłada, że złożony sygnał wielu różnych częstotliwości jest tylko sumą licznych pojedynczych sinusów. Jednym ze sposobów myślenia kondensatora jest rozważenie go rezystor, który ma wyższą opór w niższych częstotliwościach. Induktor działa jak rezystor, który staje się większy przy wyższych częstotliwościach. Ponieważ biorąc pod uwagę tylko jedną częstotliwość, możemy konwertować dowolną pojemność i wartości indukcyjności na impedancję: opór, który jest dobry tylko w częstotliwości odsetek. Co więcej, abyśmy mogli reprezentować impedancję jako numer złożony, abyśmy mogli śledzić kąt fazy obwodu, który bezpośrednio odnosi się do określonego czasu opóźnienia między napięciem a prądem.
Dla prawdziwego rezystora, część wyimaginowana wynosi 0., która ma sens, ponieważ napięcie i prąd są w fazie i z tego powodu nie ma opóźnienia czasu. Dla czystego kondensatora lub indukcyjnego, prawdziwa część wynosi zero. Prawdziwe obwody będą miały kombinacje, a zatem będą miały połączenie prawdziwych i wyimaginowanych części. Liczby takie są skomplikowane liczby i możesz napisać je na kilka różnych sposobów.
Przegląd złożony
Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że słowo wyimaginowany jest tylko arbitralny termin. Może lepiej zapomnieć o normalnym sugerowaniu słowa wyobraźni. Te wyimaginowane ilości nie są jakąś magiczną energią elektryczną lub oporem. Używamy wyobrażonych numerów do reprezentowania opóźnień czasowych w obwodach. To wszystko.
Istnieje długa historia o tym, co wyimaginowane liczby oznaczają w czystej matematyce i dlaczego nazywają się wyobraźni. Możesz spojrzeć na to, jeśli jesteś głową matematyki, ale powinieneś wiedzieć, że książki matematyczne korzystają z symbolu I dla wyimaginowanej części numeru złożonego. Jednak ponieważ inżynierowie elektryczni używają I dla prądu, używamy J zamiast tego. Musisz tylko pamiętać podczas czytania książek matematycznych, zobaczysz I i to nie jest obecny i jest taki sam jak J w książkach elektrycznych.
Istnieje kilka sposobów reprezentowania złożonego numeru. Najprostszym sposobem jest napisanie prawdziwej części i wyimaginowanej części jako dodawane razem z J. Więc weź to:
5 + 3J.
Mówimy, że prawdziwa część jest 5, a część wyimaginowana jest 3. Liczby napisane w tym formularzu są w formacie prostokątnym. Możesz wykreślić go na liniach numerów takich jak:
To prowadzi do drugiego sposobu napisania złożonej liczby: notacji polarnej. Jeśli punkt na wykresie wynosi 5 + 3J, możesz zauważyć, że wektor może reprezentować SAme point. It will have a length or magnitude and an angle (the angle it makes with the X-axis of the graph). In this case, the magnitude is 5.83 (about) and the angle is just a little under 31 degrees.
This is interesting because it is a vector and there are a lot of good math tools to manipulate vectors. It is going to become really essential in a minute because the angle can correspond to a phase angle in a circuit and the magnitude has a direct physical relationship, as well.
Kąt fazowy
Remember that I said we do an AC analysis at a single frequency? If you plot the AC voltage across and the current going through a resistor at some frequency, the two sine waves will line up exactly. That’s because a resistor doesn’t time delay anything. We’d say the phase angle across the resistor is zero degrees.
However, for a capacitor, the current will appear to rise before the voltage by some amount of time. This makes sense if you think about your intuition about capacitors at DC. When a capacitor is discharged, it has no voltage across it, but it will consume a lot of current — it temporarily looks like a short circuit. As the charge builds, the voltage rises but the current drops, until the capacitor is fully charged. At that point, the voltage is at a maximum, but the current is zero, or nearly so.
Inductors have the opposite arrangement: voltage leads current, so the curves would look the same but the V curve is now the I and the I curve is now the V. You can remember that with the easy mnemonic ELI the ICE man, where E is voltage just like in Ohm’s law. When you talk about phase shift in a circuit, you really imply how much the current leads or lags the voltage at a given frequency. That’s a essential idea: phase shift or angle is the amount of time the current leads or lags the voltage. You can also measure phase between other things like two different voltage sources, but typically when you say “this circuit has a phase shift of 22 degrees” you imply the voltage vs the current time delay.
Keep in mind a sine wave is like a circle bent to fit a line. So if the start of the sine wave is at 0 degrees, the top of the positive top is 90 degrees. The second 0 crossing is 180 degrees, and the negative top is 270 degrees–just like the points on a circle. because the sine wave is at a fixed frequency, putting something at a particular degree mark is the same as expressing a time.
In the case of a resistor, the shift is 0 degrees. So in complex notation, a 100 ohm resistor is 100 + 0j. It can also be 100∠0. For a capacitor, the current rises before the voltage by 90 degrees so a capacitor has a phase shift of -90. but what’s the magnitude?
You probably learned that the capacitive reactance is equal to 1/(2πfC) where f is the frequency in Hz. That’s the magnitude of the polar form. Of course, because -90 degrees is straight down the number line, it is also the imaginary part of the rectangular form (and the real part is zero). If capacitive reactance (Xc) is equal to 50, for example, then you could write 0-50j or 50∠-90. Inductors work the same but the reactance (Xl) is 2πfL and the phase angle is 90 degrees. So an inductor with the same reactance would be 0 + 50j or 50∠90.
Finding the Power
Let’s look at a quick example of what these phase angles are good for: calculating power. You know that power is voltage times current. So if a capacitor has 1 V across it (peak) and draws 1 A through it (peak), is the power 1 watt? No, because it doesn’t draw 1 V at 1 A at the same time.
Consider this simulation (see figure to the right). You can see the traces to the left show the 90 degree phase shift very clearly (the green trace is voltage and the yellow one is current). The top voltage is 1.85 V and the current peaks at about 4.65 mA. The product of the voltage times the current is 8.6 mW. but that’s not the best answer. The power is actually 4.29 mW (see the graph on the right). In an ideal capacitor, power isn’t consumed. It is stored and released, which is why the power goes negative. real capacitors, of course, exhibit some loss.
Note that the power supply doesn’t offer 4.29 mW, but much less. That’s because the resistor is the only thing consuming power. The voltage and current are in phase for it and some of the power it dissipates is coming from the capacitor’s stored charge.
Circuits
The magnitude of the vector is usable in Ohm’s law. For example, at 40 Hz, the Xc of the example circuit is just under 400 ohms. So the total complex impedance for the RC circuit is 1000 – 400j.
If you are adept with vectors you could do polar by writing 1000∠0 + 400∠-90. However, it is typically simpler to write the rectangular version and convert to polar (Wolfram Alpha is good at that; just remember to use i instead of j). The magnitude is just the Pythagorean theorem and the angle is easy trig. I am not going to go into it, but here’s the formula where R and J are the real and imaginary parts, respectively.
mag=SQRT(R^ 2 + j ^ 2)
faza = arctan (j / r)
Nasz przykład jest następnie 1077∠-21.8.
Więc jaka jest moc wychodzi z źródła napięcia? Moc jest e ^ 2 / R (lub, faktycznie, e ^ 2 / z w tym przypadku). SO 25/1077 = 23 MW Peak. Symulacja pokazuje 22,29, a ponieważ zaokrągliłem kilka wartości, jest wystarczająco blisko.
Otóż to?
Oczywiście to nie jest, ale wszystko, co musisz wiedzieć na wiele celów. Liczne teksty elektroniczne na poziomie hobby skorupą na szczegóły i po prostu pracują z wielkościami. Dla łatwych obwodów może to działać, ale dla czegoś złożonego (nie ma słów), staje się owłosione szybko.
Nawiasem mówiąc, ten przykład pokazał elementy serii. Można jednak dodać reagenta równoległe, tak jak w równolegle.
Podstawowe koncepcje, które musisz pamiętać, to:
Analiza obwodu AC występuje głównie w jednej częstotliwości z wejściem fali sinusoidalnej.
Wyimaginowane liczby nie są wyobraźni.
Magazynowanie numerów złożonych w postaciach polarnych można traktować jak opór.
Kąt fazowy jest opóźnieniem czasu między napięciem a bieżącym przebiegiem.
Występuje wiele szczegółów. Prawdopodobnie nie musisz wiedzieć, jak naprawdę jest kwadratowy korzeń negatywnych. Lub jak liczba Eulera odgrywa w ten sposób i prostota integracji i różnicowania fal sinusowych napisanych z amplitudy i kątem fazowym. Jeśli jesteś zainteresowany historią matematyki, imaginowane liczby mają całkiem sporo historii za nimi. Jeśli chcesz czegoś bardziej praktycznego, Khan Academy ma jakieś pomocne filmy. Jednak co tu jest objęte, powinno być wszystkim, co musisz wiedzieć, aby pracować z obwodami AC.